Открытый чан имеет форму цилиндра.

Открытый чан имеет форму цилиндра. При данном объеме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

Решение:
            Объем чана V=nHR^2, где n -число пи, H - высота, R - радиус. Откуда H=V/nR^2.   Площадь поверхности чана равна сумме площадей боковой поверхности (внутренней и наружной) и поверхности донной части (внутренней и наружной):

               S=2*2nRH+2*nR^2.

        Подставим сюда значение H, выраженное выше через объем и радиус:

               S=2*2nRV/nR^2 + 2*nR^2=2nR^2+4V/R.

         Из последней зависимости видим, что в правой части все величины постоянные, за исключением R,  т.е. имеем функцию зависимости площади поверхности чана от радиуса при заданном постоянном объеме. Чтобы найти экстремум функции необходимо взять производную от нее и приравнять нулю.
         Решив полученное уравнение, мы найдем значение R, при котором функция имеет экстремум. Итак приступим. Первая производная:

              (2nR^2+4V/R)'=4nR-4V/R^2

               4nR^3-4V=0   Откуда  R=(V/n)^1/3

        Осталось проверить, что это за экстремум.  Возьмем вторую производную и если она больше нуля, то имеем минимум. Вторая производная:

              (4nR-4V/R^2)'=4n+2*4V/R^3  

       Очевидно, что при любых значениях R вторая производная больше нуля, следовательно найденное значение R=(V/n)^1/3   соответствует минимуму площади поверхности чана при  заданном объеме V

Комментарии