Бассейн площадью S, заполненный водой до уровня h, разделен пополам вертикальной перегородкой. Перегородку медленно передвигают в горизонтальном направлении так, что она делит бассейн в отношении 1:3. Какую для этого нужно совершить работу?

Надо догадаться, что в условии задачи забыли написать, что перегородка воду не пропускает и вода через край бассейна и перегородки не перетекает.
Для удобства обратимся к рисунку. Разделим бассейн на 4 равных части. Площадь каждой из них равна S/4.  Тогда ясно, что перемещение перегородки вправо от середины на четверть длины и даст соотношение правой и левой  площади 1:3.
     
         Такое перемещение перегородки приведет к повышению уровня воды в правой части и понижению в левой.  Мы как будто взяли массу воды из одной (третьей по счету) четверти бассейна и поместили ее над правой четвертью, тем самым придав этой массе потенциальную энергию.
     
         На сколько же увеличится уровень в правой части?  Раз площади третьей и четвертой частей одинаковы, то уровень увеличится на высоту h.    Таким образом, H=2h.

         В левой части уровень уменьшится. Объем воды останется прежним.   Выразим объем до и после через площадь и высоту, приравняем и найдем новую высоту (уровень).

$V_1=\frac{2Sh}{4}$

$V_2=\frac{3Sh_2}{4}$     

$V-1=_2$  

$\frac{2Sh}{4}=\frac{3Sh_2}{4}$

$h_2=\frac{2h}{3}$

         Потенциальная энергия справа увеличилась на величину:

$E=\frac{\rho Shgh}{4}=\frac{\rho Sgh^2}{4}$

где р - удельная плотность воды, то есть pSh/4 равно массе воды.

        Потенциальная энергия слева уменьшилась на величину:

$E_L=\frac{Sh\rho gh}{4*3}=\frac{\rho Sgh^2}{12}$

        Сделаем два важных замечания:

- Работа равна изменению энергии;

- Для нашей системы справедлив закон сохранения энергии. 

       Отсюда следует, что:        $A=E-E_L$

где А - работа.

$A=\frac{\rho Sgh^2}{4}-\frac{\rho Sgh^2}{12}=\frac{\rho Sgh^2}{6}$