Полый шар, сделанный из материала с плотностью ρ1, плавает на поверхности жидкости, имеющей плотность ρ2. Радиусы шара и полости равны R и r. Какова должна быть плотность вещества, которым следует заполнить полость шара, чтобы он плавал внутри жидкости?

На шар действуют сила тяжести и архимедова (выталкивающая) сила.  Если шар должен плавать внутри жидкости, то силы эти равны. Запишем это в виде уравнения:

$\rho_1(V_R-V_r)g+\rho_3V_rg=\rho_2V_Rg$                (1)

           где $V_R$  - объем шара,   $V_r$ - объем полости,     $\rho_3$  - искомая плотность вещества внутри полости.

           Формула объема шара:            $V=\frac{4\pi R^3}{3}$           (2)

  Из  (1)   с учетом (2)  легко выразить искомую плотность, выражение для которой после несложных преобразований принимает вид:

$\rho_3=\frac{R^3}{r^3}(\rho_2-\rho_1)+\rho_1$