Два камня расположены на одной горизонтали на расстоянии 30 м друг от друга. Один камень бросают вертикально вверх со скоростью 9 м/с, а второй одновременно бросают со скоростью 12 м/с по направлению к первому камню (горизонтально). Чему равно наименьшее расстояние между камнями в процессе движения?

Положение камня, движущегося по вертикали в любой момент времени t определяется зависимостью:

по вертикали:

$y_1=v_{01}t-\frac{gt^2}{2}$   

где Vo1 - начальная скорость по вертикали.

по горизонтали:                     

    $x_1=0$

              Положение камня, движущегося по горизонтали в любой момент времени t определяется зависимостью:

$x_2=x_{02}-v_{02}t$

где Vo2 - начальная скорость по горизонтали, Хo - начальная координата по оси Х.

Расстояние между камнями:

$r=\sqrt{(x_2-x_1)^2-(y_2-y_1)^2}$

$r=\sqrt{(x_{02}-v_{02}t-0)^2-(-\frac{gt^2}{2}-(v_{02}t-\frac{gt^2}{2}))^2}$            (1)

Таким образом,  мы получили функцию зависимости расстояния между камнями в зависимости от времени. Для поиска минимума вспомним, что в точках экстремумов (минимумов и максимумов) первая производная функции обращается в ноль. Осталось взять производную по t  правой части (1) , и  приравнять ее нулю и найти из полученного уравнения  время.

            Далее, подставив это значение времени в уравнение (1) найдем ответ на задачу.