Два пловца должны попасть, из точки A на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же — все время держать курс перпендикулярно к течению

Два пловца должны попасть, из точки A на одном берегу реки в прямо противоположную точку В на другом берегу. Для этого один из них решил переплыть реку по прямой АВ, другой же — все время держать курс перпендикулярно к течению, а расстояние, на которое его снесет, пройти пешком по берегу со скоростью и. При каком значении u оба пловца достигнут точки В за одинаковое время, если скорость течения V0=2,0 км/ч и скорость каждого пловца относительно воды V= 2,5 км/ч?

Пусть ширина реки равна d.   Тогда второй пловец достигнет берега за время:

$t_2=\frac{d}{v}$        (1)

За время  $t_2$  его снесет от точки В на расстояние:

$S=v_0t_2=\frac{v_0d}{v}$            (2)

Для преодоления этого расстояния пешком со скоростью u второму пловцу понадобится времени:

$t_3=\frac{S}{u}=\frac{v_0d}{uv}$                   (3)

Чтобы у первого пловца получился путь по прямой от А до В, ему надо будет плыть под некоторым углом $\phi$ к вектору скорости течения, чтобы компенсировать скорость сноса течением.

$v_0=v\cos\phi$                $\phi=\arccos\frac{v_0}{v}$        (4)

Скорость первого пловца вдоль в проекции на линию АВ равна:

$v_{AB}=v\sin\arccos\frac{v_0}{v}$  

Тогда первый пловец расстояние АВ преодолеет за время:

$t_1=\frac{d}{v\sin\arccos\frac{v_0}{v}}$             (5)

По условию задачи  $t_2+t_3=t_1$               (6) 

Подставим в (6) значения  (1), (3), (5):

$\frac{d}{v}+\frac{v_0d}{uv}=\frac{d}{v\sin\arccos\frac{v_0}{v}}$              (7)

Почленно поделив обе части (7) на d получим:

$\frac{1}{v}+\frac{v_0}{v}=\frac{1}{v\sin\arccos\frac{v_0}{v}}$                 (8) 

Подставив данные в (8) и решив уравнение относительно u, найдем ответ:

$u=3$  км/ч