Какую минимальную работу надо совершить чтобы погрузить цилиндрическое тело плавающее в сосуде на глубину x, меньше высоты надводной части? Площадь основания цилиндра S, плотность воды p.

Условие задачи поставлено не вполне корректно, поскольку остается неопределенность относительно того, является ли это тело пустотелым с нулевой массой, или является сплошным цилиндром с равномерно распределенной по его объему массой m.

Попробуем все же.

На тело будет действовать векторная сумма сил :  выталкивающей (Архимеда) и силы земного притяжения.  Направлены они противоположно и можем записать, что для частичного погружения в воду требуется воздействовать на тело дополнительной силой, равной:

$F=F_A-mg$

$F_A=\rho Vg=\rho Sxg$

Заметим, что выталкивающая сила не постоянная величина, а в нашем случае зависит от глубины погружения тела.

Работа переменной силы может быть выражена через интеграл:

$A=\int{(\rho Sgx-mg)}=\rho gS\frac{x^2}{2}-mgx$      (1)

Разность значений (1) при конечном и начальном значениях х и даст нам искомую работу.