На столе лежит тело куб с длиной ребра l и массой m, а коэффициент трения со столом k=0.5. Необходимо переместить его на расстояние L кратное длине ребра. Как следует перемещать кубик по столу, чтобы максимально уменьшить совершаемую работу? Катить или толкать?

Для начала определимся с работой в случае перемещения кантованием (переворачиванием).

Чтобы совершенная работа была минимальной, будем переворачивать куб так, чтобы он не отрывался от горизонтальной плоскости и не скользил по ней. Уровень начала  отсчета потенциальной энергии совместим с горизонтальной плоскостью.

Напомним, что центр масс однородных симметричных тел совпадает  с центром их симметрии. Поэтому мысленно заменяем куб материальной точкой такой же массы m, расположенной в  его центре масс.

В начальном положении куба  точка С – центр масс  находится над нулевым уровнем отсчета потенциальной энергии на высоте .  Поэтому потенциальная энергия куба в начальном состоянии  равна    

$E_1=mgh_1=mg\frac{L}{2}$  

где L - длина ребра куба.

Внешняя сила должна  совершить минимальную работу  только для того, чтобы куб поставить на ребро.  Поэтому во втором положении куба, которое мы рассматриваем, центр масс будет находиться на высоте

$h_2=\frac{L}{2}\sqrt{2}$  

Следовательно, потенциальная энергия куба в этом положении равна 

$E_2=mgh_2=\frac{mgL}{2}*\sqrt{2}$ 

При этом изменении положения куба внешней силой совершена минимальная работа, численно равная изменению потенциальной энергии 

$A_0=E_2-E_1=mg\frac{L}{2}\sqrt{2}-mg\frac{L}{2}=0,207mgL$          (1)

Дальнейшее движение куба до его полного переворота на соседнюю грань присутствия внешней силы не требует.

При  перемещении куба на такое же расстояние l толканием понадобиться выполнить работу по преодолению силы трения:

$A_T=FS=kmgL=0,5mgL$        (2)

Сравнивая (1) и (2) приходим к выводу:  работа меньше, если кантовать (переворачивать)