Мяч скатился с горы высотой 20 м и после короткого горизонтального участка упал в вертикальную шахту диаметром 2 м и глубиной 10 м. Сколько ударов о стенки шахты произойдёт при движении мяча до дна, если удар абсолютно упругий и движение происходило в одной плоскости?

Для начала составим алгоритм решения. Потенциальная энергия мяча на высоте  h равна mgh.

Эта энергия в конце спуска превратится в кинетическую, а она равна mv^2/2.  Приравняем их  mgh=mv^2/2   Тогда скорость v=sqrt(2gh). Горизонтальный участок придаст этой скорости горизонтальное направление. Это и будет начальная скорость мяча в начале движения по шахте. Поскольку удары абсолютно упругие, то движение мяча можно представить как зеркальное отражение и далее нам будет удобно предствить нашу шахту в "развернутом" виде, т.е. в виде нескольких сдвинутых друг с другом цилиндров, стенки которых для мяча "прозрачны", но проходя такую "прозрачную" стенку, мяч оставляет метку (это знак, что он в этот момент отразился от реальной стенки). Движение мяча, таким образом, представляет собой движение мяча, брошенного горизонтально. Заметим, что в этом случае во времени растет только вертикальная скорость, а горизонтальная остается постоянной. Нам осталось найти время падения мяча на глубину колодца 10 м при начальной нулевой вертикальной скорости:  t=sqrt(2h/g).   И теперь посчитаем сколько "прозрачных" стенок пересечет мяч за время t. Т.е. за время t мяч пролетит в горизонтальном направлении путь S=vt   А количество стенок будет равно n=vt/d, где d диаметр шахты. Ну, вот и все. Приступайте к вычислениям.

P.S.  По большому счету надо бы учесть, что на кинетическую энергию поступательного движения мяча уйдет не вся потенциальная энергия, т.к. часть потенциальной энергии уйдет на увеличение энергии вращения мяча, что в конечном итоге повлияет на вычисляемую нами скорость поступательного движения.  (посмотрите задачу в моем блоге о скатывающемся без скольжения шарике, опубликованную пару дней назад). Однако, судя по условию задачи ( а его следовало бы признать не вполне корректным), вращение мяча можно не учитывать.  хотя посчитать энергию вращения полого шара не представляет труда, само вращение в процессе полета и отражения от стенок может весьма существенно повлиять на результат.