Тело движется прямолинейно, при этом ускорение изменяется во времени по закону $a=6+24t^2\;\text{м/с}^2$. Масса тела m=0,4 кг. Начальная скорость vo равна нулю. Определить: путь S, пройденный телом за промежуток времени от t 1 = 0 до t 2 = 1 c ; работу A силы за этот промежуток времени; импульс тела P в момент времени t = 3 c.

         Имеем дело с прямолинейным движением с переменным ускорением, т.е. при этом  ускорение является функцией времени (меняется во времени).

         Как известно, скорость - это первая производная формулы зависимости пути от времени, а вторая производная от пути (она же - первая производная от скорости) - это ускорение.

         Таким образом, если заданное в условии ускорение т.е. заданную в условии функцию, выражающую закон изменения ускорения во времени, проинтегрируем, то получим функцию, описывающую изменение скорости во времени.

         Проинтегрировав полученную функцию скорости от времени, получим функцию пути от времени. 

         Таким образом, мы получим ключик к решению нашей задачи. Итак, приступим.

$a(t)=6+24t^2$   (1)

    $v(t)=\int{a(t)dt=6t+8t^3}$              (2)

В (2) вообще-то по правилам надо еще дописать +С, т.е. некую начальную величину, но согласно условию начальная скорость равна нулю.

 $S(t)=\int{v(t)dt}=\int{(6t+8t^3)dt}=3t^2+2t^4$          (3)

Далее все просто.  Чтобы найти путь за время от t1=0 до t2=1 с, надо взять разность значений (3) для t=1 и t=1   или же  взять определенный интеграл от скорости:

$S=\int_{t_1=0}^{t_2=1}{(6t+8t^3)}dt=5\;м$

Работа равна изменению энергии.  Начальная кинетическая энергия равна нулю, т. к. скорость начальная равна нулю.  
Конечная скорость:  $v_{t=1}=6t+8t^3=6*1+8*1^3=14\;\text{м/с}$

$A=\frac{mv_{t=1}^2}{2}=\frac{0,4*14^2}{2}=39,2\;\text{Дж}$

Импульс  Р есть произведение массы на вектор скорости. Скорость в момент t=3 найдем из (2)

$v_3=6*3+8*3^3=234$  м/с

$P=mv=0,4*234=93,6$  кг*м/с






 

Комментарии