На лёгкой вертикальной пружине подвешен груз. Летящий вертикально вверх со скоростью 3 м/с комок пластилина такой же массы попадает в груз и прилипает к нему. Найдите максимальную скорость образовавшегося тела при возникших колебаниях, если циклическая частота этих колебаний равна ω=2,5 с−1.

На лёгкой вертикальной пружине подвешен груз. Летящий вертикально вверх со скоростью 3 м/с комок пластилина такой же массы попадает в груз и прилипает к нему. Найдите максимальную скорость образовавшегося тела при возникших колебаниях, если циклическая частота этих колебаний равна ω=2,5 с−1. Ответ выразить в м/с. Если ответ не целый, то округлить до сотых. Ускорение свободного падения 10 м/c^2.

Циклическая частота  w  колебаний груза массой 2m на пружине жесткости k:

$w^2=\frac{k}{2m}$

$k=2mw^2$           (1)

После слипания импульс системы не изменится, а скорость уменьшилась вдвое, т.к.

$mv_0=2mv_1$

$v_1=\frac{v_0}{2}$              (2)

 Положение равновесия от начального сместилось вниз на x, тогда можем записать mg=kx

$x=\frac{mg}{k}=\frac{mg}{2mw^2}=\frac{g}{2w^2}$           (3)

Полная энергия относительно положения равновесия:

$W=\frac{2mv^2}{2}+2mgx+\frac{kx^2}{2}$

W=\frac{mv_0^2}{4}+\frac{2mgg}{2w^2}+\frac{2w^2mg^2}{2*4w^4}=\frac{m}{4}(v_0^2+\frac{5g^2}{w^2})$

Полная  энергия становится равной кинетической энергии в момент достижения скоростью максимального значения, которое обозначим Va

$\frac{m}{4}(v_0^2+\frac{5g^2}{w^2})=\frac{2mv_a^2}{2}$

$v_a=\sqrt{\frac{v_0^2+\frac{5g^2}{w^2}}{4}}=\sqrt{\frac{3^2+\frac{5*10^2}{6,25}}{4}}=4,72;\text{м/с}$