Материальная точка массой 0,1 кг движется по окружности радиусом R=0,25 м. Её угловая скорость зависит от времени согласно уравнению: $w=2+0,5t^2$. Определить для момента времени t = 4 с силу, действующую по касательной к траектории; нормальное, тангенциальное и полное ускорения точки; кинетическую энергию

Определим угловую скорость в момент времени    t = 4 c :

$w=2+0,5t^2=2+0,5*4^2=10$ рад/с

Тогда линейная скорость (скорость, направленная по касательной к траектории):

$v=wR=10*0,25=2,5$ м/с

Нормальное ускорение (ускорение направленное вдоль радиуса к центру или центростремительное):

$a_n=\frac{v^2}{R}=\frac{2,5^2}{0,25}=25\;\text{м/с}^2$

Угловое ускорение – производная от угловой скорости по времени :

$\varepsilon=\frac{dw}{dt}=\frac{d(2+0,5t^2)}{dt}=0+0,5*2t=t\;\text{рад/с}^2$  

Для момента времени t = 4 c   угловое ускорение         $\varepsilon=4\;\text{рад/с}^2$

Связь тангенциального ускорения а_t и углового ускорения  $\varepsilon$:

$а_{\tau}= \varepsilon*R$

$a_{\tau}=4*0,25=1\;\text{м/с}^2$

Тангенциальное и нормальное ускорения направлены перпендикулярно друг другу и представляют собой катеты прямоугольного треугольника, гипотенузой которого является полное ускорение.  Вот его то мы и найдем, воспользовавшись услугами Пифагора:

$a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau}^2}=\sqrt{25^2+1^2=25,02\;\text{м/с}^2}

Чтобы определить силу, действующую по направлению касательной  траектории, воспользуемся вторым законом Ньютона:

$F=ma_{\tau}=0,1*1=0,1\;H$

Кинетическая энергия:

$E=\frac{mv^2}{2}=\frac{0,1*2,5^2}{2}=0,3125$ Дж