Уравнение движения диска радиусом R = 20 см имеет вид ϕ = 3 – t + 0,1t^3 рад. Определите тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска для момента времени t = 10 с

Уравнение  вращательного движения:

$\phi(t)=\phi_0+w_0t+\frac{\varepsilon t^2}{2}$          (1)

где $\phi(t),\;\phi_0,\;w_0,\;t,\;\varepsilon$  - соответственно угол поворота, начальный угол поворота (начальный угол относительно начала системы отсчета), начальная угловая скорость, угловое ускорение.

Чтобы легче запомнить уравнение (1) заметим, что уравнение (1) практически аналогично уравнению, описывающему  прямолинейное движение:

$x(t)=x_0+v_0t+\frac{at^2}{2}$

     

Сравнив (1) с заданным в условии уравнением движения диска, можем найти тангенциальное ускорение для момента t = 10 c:

$0,1t^3=\frac{\varepsilon t^2}{2}$

$\varepsilon=0,2t=0,2*10=2\;\text{рад/с}^2$

Тангенциальное ускорение:   $a_{tau}=\varepsilon R=2*0,2=0,4\;\text{м\с}^2$

Нормальное ускорение:       $a_n=\frac{v^2}{R}$          (2)

Линейная скорость v связана с угловой скоростью w зависимостью:

$v=wR$       (3)     

В свою очередь           $w=w_0+\varepsilon t=-1+2*10=19$ рад/с    (4)

(4) в (3) :     $v=wR=19*0,2=3,8$  м/с

$a_{n}=\frac{v^2}{R}=\frac{19^2}{0,2}=1805\;\text{м/с}^2$

$a_{n}=\frac{v^2}{R}=\frac{3,8^2}{0,2}=72,2\;\text{м/с}^2$

Векторы нормального и тангенциального ускорения направлены перпендикулярно друг другу, полное ускорение найдём, как гипотенузу прямоугольного треугольника,у которого   катеты - это наши ускорения. 

$a=\sqrt{a_n^2+a_{\tau}^2}$

$a=\sqrt{72,2^2+0,4^2}\approx 72,203$ $м/с^2$