Сплошной парафиновый (ε = 2) шар радиусом R=10 см заряжен равномерно по объему с объемной плотностью p=10 нКл/м^3. Определить энергию электрического поля, сосредоточенную в самом шаре и вне его.
Для начала найдем энергию внутри шара. Для этого выделим внутри шара элементарный сферический объем с толщиной сферы dr. Тогда можно записать, что в этом элементарном объеме dV сосредоточена энергия $dW=wdV$, где w - объемная плотность энергии.
Объем этого элементарного слоя можно выразить так:
$dV=4\pi r^2dr$,
тогда $dW=4w\pi r^2dr$ (1)
Объемная плотность заряда шара выражается формулой:
$w=\frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon E^2$
где $\varepsilon,\;\varepsilon_0,\; E$ соответственно относительная и абсолютная диэлектрическая проницаемости и напряженность электрического поля.
Напряженность поля внутри шара на расстоянии r от его центра описывается выражением:
$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon r^2}$ где Q - заряд
$w=\frac{1}{2}\varepsilon_0\varepsilon*\frac{Q^2}{16\pi^2\varepsilon_0^2\varepsilon^2 r^4}=\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0\varepsilon r^4}$ (2)
(2) подставим в (1)
$dW=4\pi r^2*\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0\varepsilon r^4}dr=\frac{Q^2}{8\pi \varepsilon_0\varepsilon r^2}dr$ (3)
Заряд части шара, заключенной внутри сферы радиуса r равен произведению объемной плотности заряда на объем этой части шара:
$Q=p*\frac{4}{3}\pi r^3$
Тогда (3) принимает вид
$dW=\frac{16\pi^2r^6p^2}{9*8\pi\varepsilon_0\varepsilon r^2}dr=\frac{2\pi r^4p^2}{9\varepsilon_0\varepsilon}dr$
Проинтегрировав последнее выражение от r=0 до r=R, мы находим энергию, сосредоточенную внутри шара:
$W=\int_{r=0}^{r=R}{\frac{2\pi r^4p^2}{9\varepsilon_0\varepsilon}dr}=\frac{2\pi p^2R^5}{45\varepsilon_0\varepsilon}$ (4)
Энергия электрического поля снаружи шара:
$W_n=\frac{Q\phi}{2}$ (5)
где Q,ф - соответственно заряд и потенциал шара.
$Q=\frac{4}{3}\pi r^3p$ где R - радиус шара, р - объемная плотность заряда.
$\phi=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R}=\frac{4}{3}\pi R^3p*\frac{1}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon R}$=\frac{p R^2}{3\varepsilon_0\varepsilon}$
$W_n=\frac{1}{2}*\frac{4\pi p R^3}{3}*\frac{pR^2}{3\varepsilon_0\varepsilon}=\frac{2\pi p^2R^5}{9\varepsilon_0\varepsilon}$ (6)
Подставляйте исходные данные из условий, но имейте ввиду, что здесь имеется $varepsilon=1$ - т.е. относительная диэлектрическая проницаемость воздуха (вакуума) равна единице, а в формуле (4) $varepsilon=2$ - т.к. речь идет о поле внутри парафинового шара.
$\varepsilon_0=8,85*10^{-12}$ Ф/м
Комментарии
Отправить комментарий
Здесь вы можете оставить ваш комментарий.