К одному концу легкой пружины жесткостью 100 Н/м прикреплен массивный груз, другой конец закреплен неподвижно. Коэффициент трения груза по плоскости 0,2. Груз смещают по горизонтали, растягивая пружину, затем отпускают с начальной скоростью, равной нулю. Груз движется в одном направлении и затем останавливается в положении, в котором пружина уже сжата. Максимальное растяжение пружины, при котором груз движется таким образом, равно 15 см. Найти массу груза.

Растянутая пружина обладает потенциальной энергией W:

$W=\frac{kx^2}{2}$

           где k, x - соответственно жесткость (коэффициент упругости), смещение пружины относительно положения покоя.

Под действием пружины за счет запаса потенциальной энергии груз начнет двигаться (после того, как пружину растянут и отпустят), при этом потенциальная энергия пружины будет переходить частично на приращение кинетической энергии груза, а частично на выполнение работы против сил трения.  Груз пройдет точку равновесия, в этот момент его кинетическая энергия максимальна. Далее за счет этой энергии груз будет двигаться, отдавая кинетическую энергию в потенциальную энергию пружины и выполнение работы против сил трения. Движение закончится в точке, в которой согласно условию сила реакции сжатой пружины будет равна силе трения. Итак, можем записать:

Первый участок:

Кинетическая энергия груза в момент прохождения точки равновесия пружины

$E=W-A=\frac{kx^2}{2}-\mu mgx$         (1)

где А - работа сил трения,  $\mu$, m, g, x - коэффициент трения, масса, ускорение земного тяготения, путь.

Второй участок:

$\frac{kx^2}{2}+\mu mgx_2=E$              (2)

где $x_2$ - смещение после прохождения точки равновесия.   Первое слагаемое - это потенциальная энергия сжатой пружины. Второе - работа против сил трения.

Согласно закону Гука:  F=kx, следовательно, можем записать с учетом условия, что движение закончится в точке, в которой согласно условию сила реакции сжатой пружины будет равна силе трения:

$kx_2=\mu mg$

$x_2=\frac{\mu mg}{k}$        (3)

(3) подставим в (2) и приравняем полученное к (1):

    

$\frac{\mu^2m^2g^2}{2k}+\frac{\mu^2m^2g^2}{k}=\frac{kx^2}{2}-\mu mgx$ 

Получили квадратное уравнение с одним неизвестным m.   Надеюсь,  решение квадратных уравнений не составляет для вас труда.  Удачи.