Конденсатор емкости C = 6 мкФ замыкают через сопротивление R = 6 Ом на ЭДС E = 24 В. Определите заряд на конденсаторе при его полной зарядке, количество выделившейся теплоты при зарядке и постоянную времени.
Для мгновенных значений тока, напряжения и заряда можно записать уравнение по второму закону Кирхгофа:
Для разделения переменных dq и dt уравнение (2) преобразуем, умножив почленно на Cdt:
Проинтегрировав это уравнение с учётом начального условия q = 0 при t = 0 и с учётом того, что при изменении времени от 0 до t заряд изменяется от 0 до q, получим
Полная зарядка теоретически будет достигнута через бесконечно большое время. Но по условию задачи мы и рассматриваем случай, когда конденсатор зарядился полностью (а мы с Вами, стало быть, прожили бесконечно длинную жизнь). Для этого случая формула (5) сводится к банальной школьной формуле:
Памятуя, что ток есть по определению скорость изменения заряда во времени ( i = dq/dt ),
$ir+u_c=E$ (1)
$i=\frac{dq}{dt}$ $u_c=\frac{q}{C}$
$i=\frac{dq}{dt}$ $u_c=\frac{q}{C}$
подставим в (1):
$\frac{dq}{dt}R+\frac{q}{C}=E$ (2)
$RCdq=CEdt-qdt$
$\frac{dq}{C-q}=\frac{dt}{RC}$ (3)
$\frac{dq}{C-q}=\frac{dt}{RC}$ (3)
$-\ln\frac{CE-q}{CE}=\frac{t}{RC}$ (4)
После потенцирования получаем:
$q=CE(1-e^{-\frac{t}{RC}})$ (5)
$Q=CE$
Постоянная времени по определению равна:
$\tau=RC$
продифференцируем (5) по времени и получим выражение для тока:
$i=\frac{dq}{dt}=\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}}$ (6)
Согласно закону Джоуля -Ленца количество теплоты: $dW=i^2Rdt$
$W(t)=\int_0^ti(t)^2Rdt=\int_0^t(\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}})^2Rdt$
$W(t)=\int_0^ti(t)^2Rdt=\int_0^t(\frac{E}{R}e^{-\frac{t}{RC}})^2Rdt$
Тогда в нашем случае
$W=\frac{CE^2}{2}$
Комментарии
Отправить комментарий
Здесь вы можете оставить ваш комментарий.