Небольшой деревянный (сосна) шарик падает с некоторой высоты на поверхность воды и погружается на 80 см. Определите, с какой высоты относительно поверхности воды упал шарик, если на работу по преодолению силы сопротивления воды пошла половина кинетической энергии, которой шарик обладал перед входом в воду. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Исправленное решение с учетом замечаний Димы Бетретдинова.

             За точку отсчета (нулевой уровень потенциальной энергии) примем точку наибольшей глубины погружения шарика.

Рассмотрим этапы процесса:

Шарик на высоте h+H обладает потенциальной энергией Ер, по мере падения до момента касания поверхности воды скорость шарика нарастает, потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая Ек нарастает. В момент касания воды шарик имеет максимальную кинетическую энергию. Далее, за счет этой кинетической энергии  и остатка потенциальной энергии на момент касания воды, шарик выполняет работу по преодолению силы сопротивления воды  Ас и выталкивающей силы Ав  на участке погружения в воду.

            Введем обозначения:   $m,\;v,\;V,\;g,\;\rho_B,\;h,\;H$ -  соответственно масса шарика, его скорость в момент касания воды, объем шарика (он же объем вытесняемой шариком воды), ускорение земного тяготения, плотность воды, начальная высота шарика над водой, максимальная глубина погружения.

            Запишем уравнение изменения энергии и работы:

$mg(h+H)=A_c+A_B$            (1)

$A_c=\frac{1}{2}E_k$               $E_k=\frac{mv^2}{2}$             

$v=\sqrt{2gh}$            $E_k=mgh$   

По условию задачи $А_с=\frac{Ек}{2}$:

   
$A_c=\frac{mgh}{2}$          (2)

$A_B=\rho_BVgH$           (3)

(2) и (3) в (1):

$mg(h+H)=\frac{mgh}{2}+\rho_BVgH$            (4)

$m=\rho_cV$         (5)

где  $\rho_c$  - удельная плотность сосны.

(4) в (5) :    $\rho_cVg(h+H)=\frac{\rho_cVgh}{2}+\rho_BVgH$            (6)

Сократим V и g в (6) , поделив все члены уравнения на Vg, раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

 

$\frac{\rho_ch}{2}=H(\rho_B-\rho_c)$

$h=\frac{2H(\rho_B-\rho_c)}{\rho_c}$

Удельная плотность сосны (по гуглу) 510 кг/м^3,  а воды 1000 кг/м^3

$h=\frac{2*0,8*(1000-510}{510}=1,54$  м