Груз маятника совершает синусоидальные колебания с периодом Т = 4пи (с), двигаясь вдоль оси "ОХ". Определить проекцию ускорения груза на ось "ОХ", в те моменты времени, когда координата "Х" груза, отсчитываемая от положения равновесия маятника, составляет 4 см.

Уравнение координаты точки, совершающей синусоидальные колебания вдоль оси ОХ, имеет вид:

$x(t)=x_0\sin wt=x_0\sin{\frac{2\pi}{T}t}$          (1)

где $x(t),\;x_0,\;w,\;T$- соответственно мгновенное значение координаты (значение координаты в момент времени t), амплитуда колебаний (наибольшее отклонение от центра равновесия), круговая частота, период колебаний. 

(1) представляет собой уравнение движения точки во времени. Как известно, первая производная от (1) по времени даст нам скорость, а вторая - ускорение.

Подставим значение периода в (1) и получим уравнение координаты х груза в зависимости от времени :

$x(t)=x_0\sin\frac{\pi}{2}t$              (2)

Определим для начала  значение времени, когда согласно условию, х(t)=0,04.  Подставим значение из условия  в (2)

$0,04=x_0\sin\frac{\pi}{2}t$

$\sin(\frac{\pi}{2}t)=\frac{0,04}{x_0}$

$t=\frac{\arcsin\frac{0,04}{x_0}}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2\arcsin\frac{0,04}{x_0}}{\pi}$         (3)

А теперь займемся производными.  Первая производная от (2) даст скорость:

$v=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d(x_0\sin(\frac{\pi t}{2}))}{dt}=x_0\frac{\pi}{2}\cos{\pi t}{2}$

$a=\frac{d(x_0*\frac{\pi}{3}\cos{\frac{\pi t}{2}})}{dt}=-x_0\frac{\pi^2}{4}\sin{\frac{\pi t}{4}}$