Тело вращается вокруг неподвижной оси так, что угол его поворота меняется в зависимости от времени по закону: $\Phi=2\pi(At-\frac{Bt^2}{2})$, где А и B - положительные постоянные. Найти момент времени t, в который тело останавливается, а также число оборотов N тела до остановки.

Производная от функции угла по времени даст нам угловую скорость:

$w=\frac{d\Phi}{dt}=2\pi A-2\pi Bt$  

Согласно условию скорость обратиться в ноль:    $2\pi A-2\pi Bt=0$   

Откуда находим время, за которое скорость станет нулевой:           $t=\frac{A}{B}$  

Чтобы определить число оборотов подставим найденное время в заданную в условии формулу угла поворота, это даст нам общий угол поворота в радианах, а если мы поделим его на $2\pi$  (именно столько радиан в одном обороте), то найдем количество оборотов:

$n=\frac{\Phi}{2\pi}=\frac{2\pi(\frac{A^2}{B}-\frac{BA^2}{2B^2})}{2\pi}=\frac{A^2}{2B}$