По наклонной плоскости, составляющей угол x=30 градусов с горизонтом , движется прямолинейно вверх тело с начальной скоростью V1=5 м/с, а коэффициент трения между телом и плоскостью равен 0,3 . Через какое время после начала движения скорость тела снова будет равна V1 ?

Начальная кинетическая энергия К1 будет израсходована на работу по преодолению сил трения при движении вверх на участке пути S1 и увеличение потенциальной энергии от нуля до Wp. Потом тело за счет потенциальной энергии начнет сползать вниз, выполняя работу против сил трения А2 на участке пути S2, в конце которого кинетическая энергия станет равной начальной Wk, а скорость станет равной V1.

$\frac{mv_1^2}{2}=mgS_1\sin x+\mu mg\cos x*S_1$         (1)

$S_1=\frac{v_1^2}{2g(\sin x+\mu\cos x)}$        (2)

$W_p=mgS_1\sin x=mg*\frac{v_1^2}{2g(\sin x+\mu\cos x)}*\sin x$

$W_p=\frac{mv_1^2\sin x}{2(\sin x+\mu\cos x)}$         (3)

$W_p=W_k+A_2$

$\frac{mv_1^2\sin x}{2(\sin x+\mu\cos x)}=\frac{mv_1^2}{2}+\mu mg\cos x*S_2$        (4)

$S_2=\frac{\frac{mv_1^2\sin x}{2(\sin x+\mu\cos x)}-\frac{mv_1^2}{2}}{\mu mg\cos x}$ 

$S_2=\frac{\frac{v_1^2\sin x}{2(\sin x+\mu\cos x)}-\frac{v_1^2}{2}}{\mu g\cos x}$       (5)

Ускорение а, с которым тело будет двигаться при скольжении вниз, найдем воспользовавшись вторым законом Ньютона:

$mg\sin x-\mu mg\cos x=ma$

$a=g(\sin x-\mu\cos x)$      (6)

Движение будет равноускоренным с ускорением а. 

 Из формулы  пути при равноускоренном движении  $S_2=\frac{at^2}{2}$    выразим  t:

$t=\sqrt{\frac{2S_2}{a}}$              (7)

А далее все совсем просто. Осталось в (7) подставить (5) и (6),  потом подставить исходные данные к задаче и вычислить результат.