Координата тела, движущегося вдоль оси Оx, зависит от времени по закону х(t)=8-2t+t^2, где х измеряется в метрах, t - в секундах. Определить изменение кинетической энергии с начала третьей до конца четвертой секунды движения. Масса тела равна 3 кг

Первая производная от x(t) по dt даст нам выражение изменения скорости во времени:

$v(t)=\frac{d(x(t))}{dt}=-2+2t=2t-2$            (1)

Выразим искомое изменение кинетической энергии:

$\Delta W=\frac{mv^2}{2}-\frac{mv_1^2}{2}=\frac{m}{2}*(v_2^2-v_1^2)$           (2)

где m - масса, v2 - скорость в конце четвертой секунды, v1 - скорость в начале третьей секунды. 

Заметим, что скорость в начале третьей секунды равна скорости в конце второй секунды и в выражение (1) подставим t = 2 для определения v1.  Для v2 в выражение (1) подставим t = 4 

$v_1=2t-2=2*2-2=2$   м/с

$v_2=2*4-2=6$   м/с

$\Delta W=\frac{3}{2}*(6^2-2^2)=48$  Дж