С какой высоты по наклонному желобу должен скатиться без проскальзывания шарик радиусом 0,1 м, чтобы пройдя мертвую петлю радиусом 3 м, он не оторвался от желоба в верхней точке?
Начальная потенциальная энергия шарика на высоте h равна суме потенциальной энергии шарика в верхней точке мертвой петли на высоте 2R и кинетических энергий поступательного движения шарика и вращательного движения шарика:
$mgh=mg*2R+\frac{mv^2}{2}+\frac{Jw^2}{2}$ (1)
где m -масса, h - высота, v - скорость поступательного движения, J - момент инерции шара,
w - угловая скорость вращательного движения, R - радиус петли
$w=\frac{v}{r}$ $J=\frac{2mr^2}{5}$
$\frac{Jw^2}{2}=\frac{2mr^2v^2}{2*5r^2}=\frac{mv^2}{5}$
$mgh=2mgR+\frac{mv^2}{2}+\frac{mv^2}{5}$ (2)
$\frac{Jw^2}{2}=\frac{2mr^2v^2}{2*5r^2}=\frac{mv^2}{5}$
$mgh=2mgR+\frac{mv^2}{2}+\frac{mv^2}{5}$ (2)
1 - сила земного притяжения mg, направленная вниз
2 - сила реакции опоры (желоба) N, направленная вниз
Тогда, согласно 1 и 2 закону Ньютона можем записать:
$N+mg=ma$
Однако, нас интересует предельный случай, когда сила реакции опоры в верхней точке петли будет равна нулю.Тогда mg=ma Значит а=g (3)
Как известно, центростремительное ускорение определяется формулой
$a=\frac{v^2}{R}$ (4)
Приравняв (3) и (4) получаем
$g=\frac{v^2}{R}$ $v^2=gR$ (5)
(5) подставим в (2) и сократим все на m и на g
$h=2R+\frac{R}{2}+\frac{R}{5}$ $h=2,7R$ $h=8,1$ м
Комментарии
Отправить комментарий
Здесь вы можете оставить ваш комментарий.