Автомобиль проходит первую половину пути со скоростью v, 1/3 часть второй половины пути - со скоростью 0,5v, а остальную часть проходит со скоростью 2v. Найдите среднюю скорость на всем пути.

Физики утверждают, что средняя скорость есть расстояние, деленное на время. Если им верить, то можно записать:

$v_c=\frac{S}{t}$          (1)

Путь состоит, согласно условию, из трех участков:

$S=S_1+S_2+S_3=\frac{1}{2}S+\frac{1}{3}*\frac{1}{2}S+\frac{2}{3}*\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}S+\frac{1}{6}S+\frac{1}{3}S$

Время прохождения каждого из участков:

$t_1=\frac{S_1}{v_1}=\frac{\frac{1}{2}S}{v}=\frac{S}{2v}$                (2)

$t_2=\frac{S_2}{v_2}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}v}=\frac{S}{3v}$             (3)

$t_3=\frac{S_3}{v_3}=\frac{\frac{1}{3}S}{2v}=\frac{S}{6v}$            (4)

Общее время равно сумме   (2), (3) и (4). 

Подставим все это в (1):

$v_c=\frac{S}{t_1+t_2+t_3}=\frac{S}{\frac{S}{2v}+\frac{S}{3v}+\frac{S}{6v}}$

$v_c=v$