Однородный конус массой 18 кг плавает в воде, плотность которой 1000 кг/м^3, вершиной вниз. Определить высоту выступающей над водой части конуса, если высота конуса равна 1 м, а площадь основания равна 0,25 м^2.
Немного поразмыслив, легко прийти к выводу, что масса объема воды, вытесняемой погруженной частью конуса, должна равняться массе конуса. А дальше нам не обойтись без интеграла. Конус можно представить как фигуру вращения, образованную вращением боковой образующей вокруг оси ОХ:
Отрезок АВ лежит на прямой y=kx+c,
где $k=tg\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{R}{H}$ и с=0, так как прямая
проходит через точку (0;0).
Таким образом уравнение прямой имеет вид
$y(x)=\frac{R}{H}x$
Объем конуса выразим, как объем тела вращения:
$V=\pi\int_a^by^2(x)dx$ (1)
Таким образом уравнение прямой имеет вид
$y(x)=\frac{R}{H}x$
Объем конуса выразим, как объем тела вращения:
$V=\pi\int_a^by^2(x)dx$ (1)
Заменив x на текущую высоту h, получаем зависимость объема конуса от высоты
$V=\pi\int_0^h(\frac{R}{H}h)^2dh$ (2)
$V=\frac{\pi R^2h^3}{3H^2}$ (3)
Масса вытесненной воды равна произведению объема (3) на плотность воды и при этом она должна равняться массе всего конуса:
$\frac{\pi \rho R^2h^3}{3H^2}=M$ (4)
Тогда высота подводной части конуса:
$h=\sqrt[3]{\frac{3H^2M}{\pi\rho R^2}}$ (5)
Искомая высота надводной части:
$h_0=H-\sqrt[3]{\frac{3H^2M}{\pi\rho R^2}}$ (6)
$\pi R^2=S$
$h_0=H-\sqrt[3]{\frac{3H^2M}{\rho S}}$ (7)
Все данные для формулы (7) есть в условии. Подставляйте и калькулятор Вам в помощь.
$h_0=1-\sqrt[3]{\frac{3*1^2*18}{1000*0,25}}=0,4$ м
$V=\frac{\pi R^2h^3}{3H^2}$ (3)
Тогда высота подводной части конуса:
$h=\sqrt[3]{\frac{3H^2M}{\pi\rho R^2}}$ (5)
Искомая высота надводной части:
$h_0=H-\sqrt[3]{\frac{3H^2M}{\pi\rho R^2}}$ (6)
$\pi R^2=S$
$h_0=H-\sqrt[3]{\frac{3H^2M}{\rho S}}$ (7)
$h_0=1-\sqrt[3]{\frac{3*1^2*18}{1000*0,25}}=0,4$ м
Комментарии
Отправить комментарий
Здесь вы можете оставить ваш комментарий.