Дано 8 элементов с ЭДС 0,8 В и внутренним сопротивлением r=0,8 Ом. Требуется определить, какой способ соединения нужно избрать, чтобы получить от собранной из них батареи наибольшую силу тока


Пусть общее число элементов равно N, количество последовательно включенных элементов m, тогда количество параллельных ветвей N/m.



Тогда ЭДС батареи:    $E_b=mE$            (1)

 Внутреннее сопротивление батареи:    
$R_b=\frac{mr}{\frac{N}{m}}=\frac{m^2r}{N}$                  (2)

Ток I  через нагрузку R выражается согласно закону Ома:

$I=\frac{E_b}{R_b+R}=\frac{mE}{\frac{m^2r}{N}+R}=\frac{mEN}{m^2r+NR}$            (3)

Получили функциональную зависимость тока от количества последовательно включенных элементов. Исследуем эту функцию на экстремум, для чего продифференцируем ее и результат приравняем нулю, зная, что в точках экстремума производная функции обращается в нуль. Это позволит нам найти значения m, при которых эта самая функция (3) имеет экстремум (максимум или минимум). Таким образом мы найдем, при каком значении m ток в цепи имеет экстремум. 

$\frac{dI}{dm}=\frac{EN(m^2r+NR)-mEN*2mr}{(m^2r_NR)^2}=0$            (4)

$EN(m^2r+NR)-mEN*2mr=0$                   (5)

$m=\sqrt{\frac{NR}{r}}$                (6)

$m=\sqrt{\frac{8*0,4}{0,8}}=2$       

Количество ветвей:  $\frac{N}{m}=\frac{8}{2}=4$     
 
Значит надо 4 ветви параллельно: по 2 элемента последовательно в каждой ветви. 

Чтобы убедиться, что это не минимум, а максимум, надо проверить, как меняется знак производной при переходе через точку экстремума. То есть в уравнение (5) надо поочередно подставить значение m меньше найденного и больше найденного. Если знак меняется с плюса на минус - был максимум. Можете попробовать и убедитесь, что таки там максимум.




Комментарии