Жёлоб, на котором лежит шарик, образует угол 45 градусов с горизонтом и вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец жёлоба. Определить на каком расстоянии от нижнего края жёлоба шарик будет в равновесии при вращении его со скоростью 30 об/мин. Трение не учитывать

Как утверждал Ньютон в своем первом законе, для того, чтобы тело находилось в равновесии, равнодействующая всех действующих на него сил должна равняться нулю. Рассмотрим, какие же силы действуют на шарик во вращающемся жёлобе. 

1 - сила тяжести mg

2 - сила реакции опоры со стороны жёлоба  mgcosa2

3 - сила инерции, которая в нашем случае есть центробежная сила Т

          Тогда, чтобы шарик находился в равновесии, сила реакции опоры mgcosa2  должна уравновешиваться соответствующей проекцией центробежной силы  Tsina3,   а проекция силы тяжести вдоль длины жёлоба mgsina2 должна уравновешиваться проекцией центробежной силы Tcosa3.

          Углы а1 и а2  равны, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами, а углы а1 и а3 равны, как соответствующие углы, при параллельных прямых и секущей. 

Делая один оборот вместе с жёлобом, шарик совершает путь,  равный длине окружности

$S=2\pi R$,       где R - радиус окружности.

За одну секунду шарик будет проходить путь  $d=2\pi Rn$,  где n - количество оборотов за одну секунду.

          

В условии задана скорость вращения N=60 об/мин.  Тогда:   $n=\frac{N}{t}$    где t - время.

А путь тела за одну секунду  - это же и есть его скорость:

$v=2\pi Rn=\frac{2\pi RN}{t}$

Исходя из рассуждений, изложенных выше, можем записать:    

$T\cos a3=mg \sin a2$             $\frac{mv^2}{R}\cos a3=mg\sin a2$

$v^2\cos a3=Rg\sin a2$          $(\frac{2\pi RN}{t})^2 \cos a3=Rg\sin a2$

$R=\frac{gt^2\sin a2}{4\pi^2 N^2\cos a3}$     

$\frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}=tg 45^{\circ}=1$

                               $R=\frac{gt^2}{4\pi^2N^2}$

$L=\frac{R}{\cos a1}=\frac{gt^2}{4\pi^2N^2\cos a1}$

$L=\frac{10*60^2}{4*3,14^2*30^2*\cos 45^{\circ}}\approx 1,43$ м