Груз в форме куба со стороной a 0.4 м и массой m 80 кг прикреплен пружиной к потолку. Первоначально пружина не деформирована. Из-за резкого повышения температуры куб быстро расширился, так, что длины всех его сторон увеличились на 2 см. При какой жесткости пружины давление куба на пол не изменится? Ответ выразите в Н/м округлив до целых. Ускорение свободного падения g=10H\кг.

Исходя из условия задачи, действие пружины должно компенсировать уменьшение давления груза на пол из-за увеличения площади соприкосновения груза с полом. 

Начальное давление: 

$P_1=\frac{mg}{S_1}=\frac{mg}{a_1^2}$         (1)
   

    где m, g, S1, a1 - соответственно масса куба, ускорение земного тяготения, площадь основания куба, длина стороны куба.

Давление после увеличения размеров без учета действия пружины:

 $P_2=\frac{mg}{S_2}=\frac{mg}{a_2^2}$         (2)

где а2 - длина стороны куба после расширения.

Разность (1) и (2) должна компенсироваться дополнительным давлением за счет воздействия пружины, которое можно выразить произведением силы упругости на площадь:

 $\Delta P=\frac{kx}{S_2}=\frac{kx}{a_2^2}$            (3),  
       

    где k - жесткость пружины, x - деформация пружины=увеличение высоты куба.

Итого можем записать:    $\Delta P=P_1-P-2$             (4)

  $\frac{kx}{a_2^2}=\frac{mg}{a_2^2}-\frac{mg}{a_1^2}$           (5)

$k=\frac{mga_2^2}{xa_1^2}-\frac{mg}{x}=\frac{mg}{x}(\frac{a_2^2}{a_1^2}-1)$          (6)

$k=\frac{80*10}{0,02}*(\frac{0,42^2}{0,4^2}-1)=4100$ Н/м