Груз, подвешенный на пружине, совершает гармонические колебания с амплитудой 5 см и периодом 1 с. Чему равна максимальная скорость груза?



Общий вид уравнения гармонических колебаний: 

$x(t)=A\sin(wt+\phi_0)$        (1)

где $x(t),\;A,\;w,\;t,\;\phi_0$ - соответственно значение отклонения от положения равновесия, амплитуда колебаний, круговая (циклическая) частота, время, начальная фаза колебаний.

Поскольку начальная фаза в условии не задана, будем считать ее нулевой.  Круговая частота связана с периодом колебаний зависимостью, которая выражается формулой:

$w=\frac{2\pi}{T}$          (2)      

Подставим (2) в (1) с учетом нулевой начальной фазы:   

$x(t)=A\sin(\frac{2\pi t}{T})$         (3)

Как всегда, производная от уравнения, описывающего процесс, изменяющийся во времени, по времени дает зависимость скорости изменения процесса от времени, иначе говоря, производная от (3) по времени дает зависимость скорости гармонических колебаний от времени:    

$v=\frac{dx(t)}{dt}=\frac{d(A\sin(\frac{2\pi t}{T}))}{dt}=\frac{2\pi A}{T}\cos(\frac{2\pi t}{t})$            (4)

Максимальная скорость будет, судя по выражению (4), когда косинус будет равен единице. В таком случае:    

$v_{max}=\frac{2\pi}{T}=\frac{2*3,14*5*10^{-2}}{1}=0,314$  м/с

Комментарии