Тело массой 0,01 кг подвешено к легкой спиральной пружине с коэффициентом жесткости k = 25 Н/м и опущено в жидкость. После получения импульса в вертикальном направлении тело начало колебаться. Логарифмический декремент затухания $\lambda=0,004$. Определите время, за которое амплитуда уменьшится в два раза. Ответ выразить в СИ.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени по закону:  

$A(t)=A_0*e^{-\frac{\lambda t}{T}}$                    (1)

где $A(t),\;A_0,\;\lambda,\;t,\;T$ - соответственно амплитуда в момент времени t, начальная амплитуда, логарифмический декремент затухания, время, период колебаний.

Период колебаний:  $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$                    (2)      

Изменением периода затухающих колебаний по сравнению с периодом незатухающих колебаний будем пренебрегать ввиду незначительной величины.

Запишем отношение амплитуд, которое согласно условию равно 2:


$\frac{A_0}{A_0e^{-\frac{\lambda t}{T}}}=2$                 (3)

Из (3) получаем (4):               $e^{\frac{\lambda t}{T}}=2$                (4)                     

$\ln (e^{\frac{\lambda t}{T}}=\ln 2$              (5)


$\frac{\lambda t}{T}=\ln 2$              $t=\frac{T\ln 2}{\lambda}$

$t=\frac{2\pi \ln 2\sqrt{\frac{m}{k}}}{\lambda}$

$t=\frac{2*3,14*\ln 2*\sqrt{\frac{0,01}{25}}}{0,004}\approx 21,8\;c$