Прямоугольный брусок высотой 15 см плавает в воде, погрузившись на 3/4 объема. Сверху наливают слой бензина толщиной 1.5 см. Найти высоту выступающей части бруска над поверхностью бензина. Плотности бензина и воды принять равными соответственно 700 кг/м^3 и 1000 кг/м^3. Ответ дать в сантиметрах (см). Горизонтальность верхней грани бруска обеспечивается незначительным внешним воздействием.

Обозначим $\rho_1,\;\rho_2,\;V,\;H,\;\rho_3\;h$ - соответственно плотность воды, плотность, объем и высоту бруска, плотность и высоту слоя бензина.
В начальном состоянии сила тяжести, действовавшая на брусок, уравновешивалась выталкивающей силой:

$mg=\rho_1*\frac{3}{4}V*g$          (1),

где m - масса бруска.  

Если массу бруска выразить через его плотность и объем, то (1) можно переписать в виде (2):

$\rho_2Vg=\rho_1*\frac{3}{4}V*g$        (2)                 $\rho_2=\frac{3\rho_1}{4}$          (3)                   

После долива бензина на брусок будет воздействовать дополнительная выталкивающая сила.

Объем бруска можно выразить произведением площади основания на высоту: V=HS     (4).
Тогда объем части бруска, находящейся в бензине: $V_3=hS$        (5)

Из (4): $S=\frac{V}{H}$          Подставим его в (5):   $V_3=\frac{h}{H}V$           (6)

После доливки бензина над уровнем жидкости всплывет дополнительно объем бруска величиной х.  Запишем уравнение равновесия силы тяжести и суммы выталкивающих сил после доливки бензина:

$\rho_2Vg=\rho_3V_3g+\rho_1(0,75V-x)g$              (7)

$x=\frac{\Delta h}{H}V$     где   $\Delta h$  - высота подъема бруска вследствие доливки бензина.

$\rho_2Vg=\rho_3\frac{h}{H}Vg+0,75\rho_1Vg-\frac{\rho_1\Delta h}{H}Vg$             (8)    

Сократим на Vg:

$\rho_2=\rho_3\frac{h}{H}+0,75\rho_1-\frac{\rho_1\Delta h}{H}$            (9)          

Подставим сюда плотность бруска из (3)

$0,75\rho_1=\rho_3\frac{h}{H}+0,75\rho_1-\frac{\rho_1\Delta h}{H}$          (10)

$\Delta h=\frac{\rho_3 h}{\rho_1}$           (11)

Искомая высота выступающей части над поверхностью бензина:

$h_0=H-0,75H+\Delta h=0,25H+\Delta h$                   (12)

А вот здесь надо учесть замечание уважаемого Евгения Филина (смотрите внизу комментарии) и исправляйте далее самостоятельно. А Евгению - искренняя благодарность за внимание и конструктивную критику!

 $h_0=0,25H+\frac{\rho_3 h}{\rho_1}$            (13)  

$h_0=0,25*15+\frac{700*1,5}{1000}=4,8$  см